На улице жарко, двигатель заводится тяжело с ключа, а дистанционно - заводится нормально.

Проблема, скорее всего, в контактной группе замка зажигания. Обратитесь к электрику.

Дистанционный пуск исключает участие замка зажигания в запуске. Так может если при дистанции ок, а с замком нет, то поискать причину в замке?

Стартер включается штатным реле стартера. Ток идёт от аккумулятора через контакты этого реле и на стартер.
Каким бы способом не включалось реле, хоть от замка зажигания, хоть от разных приблуд: с дистанционными брелками, изменения в напряжении на стартер быть не может.
Это к тому, что если стартер начал крутиться, крутиться он будет всегда с одинаковой мощностью.
А вот если стартер не включается, то следует выбросить все дополнительно установленные приблуды и вернуть проводку в исходное состояние.