Батарейка в ключе и связь с иммобилайзером?

Конечно связан, и батарейка есть. Только, если в машине имеется система бесключевого доступа, то батарейка питает передатчик метки в ключе, т. е. без неё машину не открыть и не завести. А если бесключевого доступа нет, то батарейка служит только для дистанционного ключа, т. е. открыть/закрыть.