Почему греется генератор рукой не дотронуться, а машина ещё не прогрелась

Потому, что внутри него всё вращается и, соответственно, нагревается. Его исправность проверяется не по температуре нагрева.
Но, если нагрев чрезмерный, это может говорить о том, что ему пора на ревизию.