Почему через заслонку дует теплый воздух?

Скорее всего, причина в том, что заслонка не закрывается полностью. Причина может быть в сервоприводе, или в самой заслонке, она может подклинивать или что-то мешает её полному закрытию, например, мусор...

Как к ней подобраться чтобы проверить

Сделайте самодиагностику климата, или обратитесь в Сервис, чтобы это сделал профессионал дилерским сканером.