После снятия аккумулятора при включении подфарников гаснет подсветка доски приборов.

Если не можете сами разобраться с яркостью подсветки, а она регулируется, ну, просто, элементарно, обратитесь за помощью к знакомому автолюбителю, у которого уже были японские машины. Объяснить вам как это делается, дистанционно, вряд ли у кого получится....

Кнопка на приборном щитке, переключающая одометр и подсветку приборов работает при включенных фарах, а не подфарников.
.

Она работает и при включении габаритов.... Или подфарников - если так больше нравится автору...

Цитирую из "Руководство владельца ..." переведённого с издания Toyota motor corporation на стр.128 написано:
"п3. Дисплей регулировки подсветки приборной панели ( когда выключатель передних фар в включенном положении ) показывает яркость подсветки приборной панели.
Чтоб отрегулировать яркость подсветки приборной панели, выведите на дисплей показания регулировки подсветки приборной панели, нажмите на кнопку и держите её, пока не будет достигнута желаемая яркость."

Главным в процитированном абзаце является " когда выключатель передних фар в включенном положении"..
Слова "передние фары" никак к понятию "габариты" или "подфарники" не относятся.

Я понимаю, японского авто у вас никогда не было с оптитронным щитком приборов, иначе вы бы не цитировали этот машинный перевод, который всегда и во всех Руководствах весьма утрирован. Я даю рекомендации, опираясь на личный опыт, хотя, конечно же, очень часто пользуюсь мануалами.
Для информации: как только включаются габариты - первое положение переключателя фар, оптитронный щиток переключается на ночной режим, установленный пользователем. Все дальнейшие переключения - на ближний или дальний свет уже не имеют значения и на яркости приборов не отражаются.

Прочитай сам "Руководство владельца ..."
https://knigaproavto.ru/toyota/1901-originalnoe-rukovodstvo-po-ekspluatacii-toyota-corolla-e12.html
Данные по издателю руководства:
Publication No OM12A66R
Part No.0199912A-66
Printed in Japan 03-0604-020
-------------------------
Особое внимание на самую последнюю строчку - данное руководство напечатано в Японии.
Так, что никакого машинного перевода ...

Это понятно. Ошибка в трактовке перевода, дело в том, что габариты также относятся к выключателю передних фар, т. е. это один и тот же подрулевой переключатель. Просто, в первом положении включаются габариты, а во втором - ближний свет фар. Подсветка приборов переключается именно в первом положении, при включении габаритов.
Я бы вам мог снять видео и показать как и при каких условиях регулируется яркость подсветки на Тойоте, но у меня сейчас машина намного свежее, чем у автора вопроса, и регулировка осуществляется через БК.
Я найду видео-показ настройки подсветки и размещу в своём следующем комментарии.

Как регулировать подсветку приборки на тойоте Королле Е120, видео-обзор: https://youtu.be/NqGXFfqVpsI
В этом видео всё досконально понятно. Имеет значение не количество нажатий на кнопку одометра, а положение, в котором он находится в данный момент, т. е. на его экранчике должны отражаться не цифры, а чёрточки. И в этом положении, при нажатии кнопки одометра будет меняться яркость подсветки, при включенных габаритах или ближнем свете - это не имеет значения.