Бензонасос не работает при первом положении ключа?

А у разных авто по разному. У кого-то бензонасос начинает только синхронно со стартёром качать. Вы бы сначала узнали как у вас.

У меня Мазда Капелла, топливный насос запускается со стартером

Бензин в топливную рампу с инжекторами уже накачан при предыдущей работе двигателя.
В исправном автомобиле давление держится в рампе месяцами не уменьшаясь.
Для исключения аварийных ситуаций, например при аварии авто, что-бы топливо не качалось насосом, когда двигатель не работает, у большинства авто без вращения коленвала насос не включается.

Так и должно быть! У вас насос включается вместе со стартером.