Втягивающее щёлкает а стартер не работает, снятый с двигателя при проверке - работает?

Отдайте стартер электрику на ревизию. Он работает не так, как должен...

Устал уже повторять. Грязь и износ щёток + высохшая смазка вперемешку с продуктами износа.
Если уж вы сняли стартёр, то не поленитесь разобрать его и почистить. Это несложно. На щётки обратите внимание. Одна пара обычно как новая, вторая сильно изношена. Щётки стоят копейки, главная проблема там - пайка тугоплавким припоем.

На стартер присоединяется всего два проводника: силовой от аккумулятора и включение втягивающего соленоида.
Проверять на установленном на двигателе стартере надо не звук им издаваемый, а величину напряжения на ОБОИХ силовых болтах втягивающего соленоида.
При севшем аккумуляторе только щелчок будет, а сдвинуть маховик у стартера сил не хватит. Тоже при окисленной массе.
При упирании зубьев бендикса в венец маховика тоже вращения не будет, т.к. сердечник втягивающего ещё не замкнул контакты.
При пониженном напряжении на управление втягивающим только на звук и силы будет, больше ничего. Так часто бывает при наличии сигналки на машине.
Проверенный и успешно работающий на столе стартер на двигателе проверять надо вольтметром.
Но если нечем заняться, можешь почистить потроха стартера внутри, ему только на пользу.