Печка дует холодным справа, а слева теплым?

Если климат раздельный, то надо смотреть распределение потоков. Но и радиатор тоже.

для начала поменять салонный фильтр

Промывка системы ОЖ.
Как правило с первого раза не помогает и нужно мыть второй и третий раз, а это недешево, поэтому лучше сразу поменять радиатор отопителя.

Промывайте. Но лучше это сделать в Сервисе, имеющем необходимое оборудование. Т. к. качественная промывка - залог успеха, а она проводится кипятком и под давлением, в противном случае она полностью бессмысленна.
И главное условие - печка промывается отдельно, а блок - отдельно. Причём в любом случае промывать необходимо и блок и печку, т. к. опять-таки, в противном случае промывка теряет смысл. Не промытый блок за короткое время забивает даже новую печку.