Почему машина не заводится с ключа?

Вот именно с паркингом вам надо сначала разобраться. Возможно проблема в ингибиторе(на коробке). В нём контакты бывает ломаются или окисляются и т.п. А если машина не видит паркинг, то она и не заводится, т.к. не снимается запрет на запуск.
Кстати. А на нейтрали заводится?
Но может быть и не ингибитор, а что-то в районе селектора, на что вам "намякивает" необходимость нажатия красной кнопки.